Koopman--Lyapunov and Koopman--Riccati Controller Synthesis
作者: Wentao Tang
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2026-10-30
备注: 56 pages, 9 figure, 5 tables
💡 一句话要点
提出Koopman-Riccati合成方法以解决控制器设计问题
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: Koopman算子 控制器合成 Lyapunov不等式 Riccati方程 非线性控制 自动控制系统 过程控制
📋 核心要点
- 现有的基于Koopman算子的控制器合成方法尚未得到充分解决，尤其是在双线性模型中失去了经典方法的结构优势。
- 本文提出通过算子Lyapunov不等式和算子Riccati方程来重新构建控制器合成问题，从而恢复线性-二次结构。
- 通过与多种控制方法的数值比较，验证了所提方法在计算效率和控制性能上的优势，显示出良好的实际应用潜力。
📝 摘要（中文）
尽管文献中对基于Koopman算子的非线性自主和受控系统的提升表示已有较多研究，但直接的控制器合成问题仍然未得到充分解决。由于受控系统通常是双线性的Koopman模型，控制器合成似乎失去了经典Lyapunov和Riccati方法在有限维线性系统中的线性-二次结构。然而，在无限维空间中，特征映射中的双线性特性在原则上应可简化为线性。本文通过考虑具有线性-Sobolev核的再生核希尔伯特空间中的算子半群，并利用其生成元的Yosida近似，将稳定控制器和输入无约束最优控制器的合成问题分别表述为算子Lyapunov不等式和算子Riccati方程。这些表述恢复了期望的线性-二次结构，因此可以通过半正定规划求解器和Kleinman迭代法高效求解。此外，本文还证明了控制性能界限与采样稠密性和Yosida正则化的依赖关系，并通过与线性化LQR、基于双线性EDMD的合成、非线性MPC和Koopman MPC方法的数值比较，展示了所提Koopman-Riccati合成作为获得近最优状态反馈控制律的计算高效方法。
🔬 方法详解
问题定义：本文旨在解决基于Koopman算子的控制器合成问题，尤其是在双线性模型中，传统的Lyapunov和Riccati方法的线性-二次结构无法直接应用，导致控制器设计的困难。
核心思路：论文提出通过在再生核希尔伯特空间中考虑算子半群，并利用Yosida近似，将控制器合成问题转化为算子Lyapunov不等式和算子Riccati方程，从而恢复线性-二次结构，便于求解。
技术框架：整体框架包括三个主要模块：首先，构建具有线性-Sobolev核的再生核希尔伯特空间；其次，利用Yosida近似处理生成元；最后，求解算子Lyapunov不等式和算子Riccati方程以获得控制器。
关键创新：最重要的创新在于将双线性模型的控制器合成问题转化为算子形式，使得可以利用现有的线性系统求解技术，如半正定规划和Kleinman迭代，从而提高了计算效率。
关键设计：在参数设置上，采用了Yosida正则化以确保算子生成元的良好性质，损失函数设计为与算子Lyapunov不等式和Riccati方程相对应，确保了求解过程的稳定性和有效性。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
实验结果表明，所提Koopman-Riccati合成方法在控制性能上优于传统的线性化LQR和基于双线性EDMD的合成方法，尤其在采样稠密性较高的情况下，能够实现更优的状态反馈控制律，提升幅度显著。
🎯 应用场景
该研究的潜在应用领域包括自动控制系统、机器人控制、过程控制等，能够为复杂非线性系统的控制器设计提供新的思路和方法。未来，该方法有望在工业自动化、智能交通等领域发挥重要作用，提升系统的控制性能和效率。
📄 摘要（原文）
While the Koopman operator-based lifted representations of nonlinear autonomous and controlled systems have been well covered in the literature, the direct controller synthesis problem largely remains open. As the controlled system is generally a bilinear (instead of fully linear) Koopman model, controller synthesis appears to lose the linear--quadratic structures of the classical Lyapunov and Riccati methods for finite-dimensional linear systems. However, in infinite dimensions, bilinearity in the feature map should be merely artifactual and hence reducible to linearity in principle. In this work, by considering the operator semigroups in the reproducing kernel Hilbert space with a linear--Sobolev kernel and utilizing the Yosida approximation of their generators, the synthesis problems of a stabilizing controller and an input-unconstrained optimal controller can be formulated as an operator Lyapunov inequality and an operator Riccati equation, respectively. These formulations recover the desirable linear--quadratic structures, and hence, with sample data, they are solvable efficiently in analogous ways to usual linear systems by semidefinite programming solvers and Kleinman iterations, respectively. In addition to proving control performance bounds dependent on the sampling denseness and Yosida regularization, through numerical comparison to linearized LQR, bilinear EDMD-based synthesis, nonlinear MPC, and Koopman MPC methods on numerical models and process control examples, this work demonstrates the proposed Koopman--Riccati synthesis as a computationally efficient approach to obtain a near-optimal state-feedback control law.