Polynomial Parametric Koopman Operators for Stochastic MPC

📄 arXiv: 2604.00935v1 📥 PDF

作者: Efstathios Iliakis, Wallace Gian Yion Tan, Liang Wu, Jan Drgona, Richard D. Braatz

分类: eess.SY, math.OC

发布日期: 2026-04-01

备注: 8 pages, 5 figures, submitted to CDC 2026

💡 一句话要点

提出基于多项式参数化Koopman算子的随机模型预测控制方法

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 随机模型预测控制 Koopman算子 多项式混沌展开 非线性系统 不确定性量化

📋 核心要点

  1. 传统SMPC方法计算复杂度高，难以处理高维状态空间和不确定性，限制了其在复杂非线性系统中的应用。
  2. 论文提出一种基于多项式混沌展开(PCEs)参数化的Koopman算子框架，降低了SMPC的计算复杂度。
  3. 通过数值实验验证了该框架在非线性系统的随机模型预测控制中的有效性，实现了不确定性感知控制。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种用于随机模型预测控制(SMPC)的参数化Koopman算子框架，其中Koopman算子通过多项式混沌展开(PCEs)进行参数化。该模型使用扩展动态模式分解--字典学习(EDMD-DL)方法从数据中学习，该方法保留了EDMD矩阵PCE系数的凸最小二乘结构。与传统的随机Galerkin投影方法不同，我们推导出了SMPC问题的凝聚确定性重构，其维度仅随控制时域和输入维度缩放，并且与提升状态维度和保留的PCE项数无关。因此，我们的框架能够使用标准凸优化求解器高效地解决具有期望和二阶矩约束的非线性SMPC问题。数值例子证明了我们的框架在非线性系统的uncertainty-aware SMPC中的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：传统随机模型预测控制(SMPC)方法在处理非线性系统时，面临计算复杂度高的问题，尤其是在高维状态空间和存在不确定性的情况下。传统的随机Galerkin投影方法需要处理大量的随机变量，导致计算量随着状态维度和不确定性参数的增加而呈指数增长。这使得SMPC在实际应用中受到限制，难以应用于复杂的非线性系统。

核心思路：本文的核心思路是利用Koopman算子将非线性系统线性化，并通过多项式混沌展开(PCEs)对Koopman算子进行参数化。这种方法可以将SMPC问题转化为一个确定性的优化问题，从而降低计算复杂度。关键在于，通过EDMD-DL方法学习Koopman算子，并利用PCEs的性质，可以得到一个维度仅与控制时域和输入维度相关的凝聚确定性重构，而与状态维度和PCE项数无关。

技术框架：整体框架包括以下几个主要阶段：1) 数据收集：从非线性系统中收集状态和控制输入数据。2) Koopman算子学习：使用EDMD-DL方法从数据中学习Koopman算子，并用PCEs进行参数化。3) SMPC问题重构：将SMPC问题转化为一个凝聚确定性的优化问题。4) 优化求解：使用标准凸优化求解器求解优化问题，得到最优控制序列。5) 控制应用：将最优控制序列应用于非线性系统。

关键创新：最重要的技术创新点在于提出了一个凝聚确定性的SMPC重构方法，其维度仅与控制时域和输入维度相关，而与状态维度和PCE项数无关。这与传统的随机Galerkin投影方法形成了鲜明对比，后者需要处理大量的随机变量，导致计算量随着状态维度和不确定性参数的增加而呈指数增长。

关键设计：关键设计包括：1) 使用EDMD-DL方法学习Koopman算子，该方法保留了PCE系数的凸最小二乘结构，便于优化求解。2) 使用多项式混沌展开(PCEs)对Koopman算子进行参数化，可以有效地处理不确定性。3) 推导出了SMPC问题的凝聚确定性重构，降低了计算复杂度。4) 目标函数和约束条件的设计，包括期望和二阶矩约束，以保证控制性能和安全性。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过数值实验验证了所提出的框架在非线性系统的随机模型预测控制中的有效性。实验结果表明，该方法能够有效地处理不确定性，并实现高性能的控制。此外，该方法具有较低的计算复杂度，可以应用于实际的复杂系统。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种需要考虑不确定性的非线性系统的控制，例如机器人运动规划、自动驾驶、化工过程控制、电力系统优化等。通过降低SMPC的计算复杂度，使得在实际应用中能够更有效地处理复杂系统的控制问题，提高系统的性能和鲁棒性，并降低风险。

📄 摘要（原文）

This paper develops a parametric Koopman operator framework for Stochastic Model Predictive Control (SMPC), where the Koopman operator is parametrized by Polynomial Chaos Expansions (PCEs). The model is learned from data using the Extended Dynamic Mode Decomposition -- Dictionary Learning (EDMD-DL) method, which preserves the convex least-squares structure for the PCE coefficients of the EDMD matrix. Unlike conventional stochastic Galerkin projection approaches, we derive a condensed deterministic reformulation of the SMPC problem whose dimension scales only with the control horizon and input dimension, and is independent of both the lifted state dimension and the number of retained PCE terms. Our framework, therefore, enables efficient nonlinear SMPC problems with expectation and second-order moment constraints with standard convex optimization solvers. Numerical examples demonstrate the efficacy of our framework for uncertainty-aware SMPC of nonlinear systems.