State space representations of the Roesser type for convolutional layers

📄 arXiv: 2403.11938v2 📥 PDF

作者: Patricia Pauli, Dennis Gramlich, Frank Allgöwer

分类: eess.SY, cs.LG, eess.IV, eess.SP

发布日期: 2024-03-18 (更新: 2024-07-12)

💡 一句话要点

提出Roesser型状态空间表示以优化卷积层分析

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 卷积层 状态空间表示 控制理论 Roesser型 动态系统 神经网络 线性时不变系统

📋 核心要点

  1. 现有卷积层的表示方法主要依赖于卷积核，缺乏适用于控制理论分析的状态空间表示，限制了其在控制系统中的应用。
  2. 本文提出了一种Roesser型的状态空间表示，能够有效描述二维卷积层的动态特性，满足控制理论的分析需求。
  3. 通过构建状态空间表示，本文展示了在特定条件下的最小性，并扩展到其他卷积类型，具有重要的理论和实践意义。

📝 摘要（中文）

从控制理论的角度来看，卷积层（神经网络）是二维（或N维）线性时不变动态系统。卷积层的常规表示方法通过卷积核对应于动态系统的脉冲响应。然而，许多控制理论中的分析工具（例如线性矩阵不等式）需要状态空间表示。因此，本文明确提供了Roesser型的状态空间表示，适用于具有$c_ ext{in}r_1 + c_ ext{out}r_2$状态的二维卷积层，其中$c_ ext{in}$和$c_ ext{out}$分别是输入和输出通道的数量，$r_1$和$r_2$则表征卷积核的宽度和长度。该表示在$c_ ext{in} = c_ ext{out}$的情况下被证明是最小的。此外，本文还构建了扩张、步幅和N维卷积的状态空间表示。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决卷积层在控制理论分析中缺乏状态空间表示的问题。现有方法主要依赖卷积核，无法满足控制理论中对状态空间的需求。

核心思路：论文提出了一种Roesser型的状态空间表示，能够将二维卷积层视为动态系统，从而利用控制理论的工具进行分析。这种设计使得卷积层的特性可以通过状态空间的方式进行更深入的理解和应用。

技术框架：整体架构包括对二维卷积层的状态空间建模，定义输入输出通道及卷积核的宽度和长度，构建相应的状态转移矩阵和输出矩阵。主要模块包括状态定义、转移关系和输出计算。

关键创新：最重要的技术创新在于提供了Roesser型的状态空间表示，这一表示在$c_ ext{in} = c_ ext{out}$的情况下是最小的，显著提升了卷积层在控制理论中的适用性。与现有方法相比，这种表示能够更好地利用控制理论的分析工具。

关键设计：关键参数包括输入输出通道的数量$c_ ext{in}$和$c_ ext{out}$，卷积核的宽度和长度$r_1$和$r_2$，这些参数直接影响状态空间的维度和系统的动态特性。

📊 实验亮点

实验结果表明，所提出的Roesser型状态空间表示在$c_ ext{in} = c_ ext{out}$的情况下是最小的，能够有效支持控制理论中的分析工具，提升了卷积层的分析能力。具体性能数据和对比基线尚未提供，待进一步验证。

🎯 应用场景

该研究的潜在应用领域包括控制系统设计、机器人控制和自动化等领域。通过提供卷积层的状态空间表示，研究者可以更好地利用控制理论中的工具进行系统分析与优化，推动智能系统的性能提升和应用扩展。

📄 摘要（原文）

From the perspective of control theory, convolutional layers (of neural networks) are 2-D (or N-D) linear time-invariant dynamical systems. The usual representation of convolutional layers by the convolution kernel corresponds to the representation of a dynamical system by its impulse response. However, many analysis tools from control theory, e.g., involving linear matrix inequalities, require a state space representation. For this reason, we explicitly provide a state space representation of the Roesser type for 2-D convolutional layers with $c_\mathrm{in}r_1 + c_\mathrm{out}r_2$ states, where $c_\mathrm{in}$/$c_\mathrm{out}$ is the number of input/output channels of the layer and $r_1$/$r_2$ characterizes the width/length of the convolution kernel. This representation is shown to be minimal for $c_\mathrm{in} = c_\mathrm{out}$. We further construct state space representations for dilated, strided, and N-D convolutions.