Coriolis Factorizations and their Connections to Riemannian Geometry

📄 arXiv: 2312.14425v2 📥 PDF

作者: Patrick M. Wensing, Jean-Jacques E. Slotine

分类: eess.SY

发布日期: 2023-12-22 (更新: 2025-04-23)

备注: working draft; comments welcome

💡 一句话要点

针对机械系统能量控制，提出基于Christoffel符号的Coriolis力分解方法。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 科里奥利力分解 机械系统控制 能量控制 Christoffel符号 仿射联络

📋 核心要点

  1. 现有的基于能量的机械系统控制策略依赖于科里奥利力分解，但其选择的灵活性和对系统性能的影响尚不明确。
  2. 论文提出了一种基于 Christoffel 符号的规范科里奥利力分解方法，并将其与构型流形上的仿射联络联系起来，从而揭示了分解选择与系统几何性质的关系。
  3. 论文开发了从无约束系统到约束系统的科里奥利力分解诱导方法，并提供了开源算法，支持高效的控制计算。

📝 摘要（中文）

许多机械系统基于能量的控制策略需要选择满足斜对称性质的科里奥利力分解。本文 (a) 探讨了控制设计者在选择上是否以及何时具有灵活性，(b) 开发了一种与 Christoffel 符号相关的规范选择，以及 (c) 描述了如何利用它对约束机械系统进行高效的控制计算。我们将科里奥利力分解的选择与构型流形上的仿射联络的概念联系起来，并展示了联络的性质如何与相关的分解相关联。特别是，基于 Christoffel 符号的分解与无挠性质相关联，该性质可以限制基于无源控制期间系统轨迹的扭曲。然后，我们开发了一种从无约束机制中诱导约束机制的科里奥利力分解的方法，这为在高维系统（如具有开链和闭链机制的人形机器人和四足机器人）中进行高效控制计算提供了一条途径。提供了一系列算法（并开源），以支持未来应用中基于无源控制律、自适应律和回归矩阵的递归计算。

🔬 方法详解

问题定义：机械系统的能量控制需要选择合适的科里奥利力分解，但现有方法缺乏对分解选择灵活性的深入研究，以及分解与系统几何性质之间联系的理解。此外，对于高维约束机械系统，如何高效地进行控制计算仍然是一个挑战。

核心思路：论文的核心思路是将科里奥利力分解的选择与构型流形上的仿射联络联系起来，利用 Christoffel 符号构建一种规范的科里奥利力分解。这种分解与无挠性质相关，可以减少系统轨迹的扭曲。同时，通过从无约束系统诱导约束系统分解的方法，实现对高维约束系统的有效控制。

技术框架：论文的技术框架主要包括以下几个部分：1) 探讨科里奥利力分解选择的灵活性；2) 基于 Christoffel 符号开发规范的科里奥利力分解；3) 将科里奥利力分解与构型流形上的仿射联络联系起来；4) 开发从无约束系统到约束系统的科里奥利力分解诱导方法；5) 提供开源算法支持控制律、自适应律和回归矩阵的递归计算。

关键创新：论文的关键创新在于：1) 将科里奥利力分解与构型流形上的仿射联络联系起来，揭示了分解选择与系统几何性质的关系；2) 提出了一种基于 Christoffel 符号的规范科里奥利力分解，该分解具有无挠性质，可以减少系统轨迹的扭曲；3) 开发了一种从无约束系统诱导约束系统分解的方法，为高维约束系统的控制提供了有效途径。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 基于 Christoffel 符号构建科里奥利力分解的具体公式；2) 推导从无约束系统到约束系统的科里奥利力分解诱导方法；3) 设计并开源了用于递归计算控制律、自适应律和回归矩阵的算法。

📊 实验亮点

论文的主要贡献在于理论分析和算法实现。虽然摘要中没有明确提及具体的性能数据，但强调了基于 Christoffel 符号的分解与无挠性质的联系，这暗示了在轨迹跟踪和稳定性方面的潜在优势。此外，开源算法的提供为后续研究和实际应用提供了便利。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于人形机器人、四足机器人等高维约束机械系统的运动控制，尤其是在需要精确控制和能量效率的场景下。通过选择合适的科里奥利力分解，可以提高控制性能，减少能量消耗，并简化控制器的设计。此外，该研究提供的开源算法可以加速相关领域的研发进程。

📄 摘要（原文）

Many energy-based control strategies for mechanical systems require the choice of a Coriolis factorization satisfying a skew-symmetry property. This paper (a) explores if and when a control designer has flexibility in this choice, (b) develops a canonical choice related to the Christoffel symbols, and (c) describes how to efficiently perform control computations with it for constrained mechanical systems. We link the choice of a Coriolis factorization to the notion of an affine connection on the configuration manifold and show how properties of the connection relate with the associated factorization. In particular, the factorization based on the Christoffel symbols is linked with a torsion-free property that can limit the twisting of system trajectories during passivity-based control. We then develop a way to induce Coriolis factorizations for constrained mechanisms from unconstrained ones, which provides a pathway to use the theory for efficient control computations with high-dimensional systems such as humanoids and quadruped robots with open- and closed-chain mechanisms. A collection of algorithms is provided (and made available open source) to support the recursive computation of passivity-based control laws, adaptation laws, and regressor matrices in future applications.