Automatic nonlinear MPC approximation with closed-loop guarantees

📄 arXiv: 2312.10199v2 📥 PDF

作者: Abdullah Tokmak, Christian Fiedler, Melanie N. Zeilinger, Sebastian Trimpe, Johannes Köhler

分类: eess.SY, cs.LG, math.OC

发布日期: 2023-12-15 (更新: 2024-04-11)

备注: Submitted to IEEE Transactions on Automatic Control. Compared to the previously uploaded version, this version contains an additional numerical example

💡 一句话要点

提出ALKIA-X算法，自动近似非线性MPC并保证闭环安全性，适用于机器人等安全关键系统。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 模型预测控制 非线性系统 函数逼近 核方法 闭环控制 安全性 机器人 自适应算法

📋 核心要点

  1. 模型预测控制(MPC)在安全关键系统中至关重要，但计算复杂度限制了其应用。
  2. 提出ALKIA-X算法，通过函数近似自动计算非线性MPC的显式近似，并保证闭环安全性。
  3. 实验表明，ALKIA-X能有效降低计算需求，并适用于实际的非线性MPC问题。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种新颖的算法，用于自动计算非线性模型预测控制（MPC）方案的显式近似，同时保留闭环保证。该问题被简化为一个函数逼近问题，并通过提出的ALKIA-X算法解决。ALKIA-X是一种自适应局部核插值算法，具有外推再现核希尔伯特空间范数。ALKIA-X是一种非迭代算法，可确保数值良好的计算条件、快速评估的近似函数，并保证满足任何期望的近似误差界限。因此，ALKIA-X自动计算一个近似MPC的显式函数，从而产生适用于安全关键系统和高采样率的控制器。我们将ALKIA-X应用于近似两个非线性MPC方案，证明了计算需求的降低以及对实际问题的适用性。

🔬 方法详解

问题定义：非线性模型预测控制（MPC）在机器人等安全关键系统中应用广泛，但其计算复杂度高，难以满足实时性要求。现有的显式MPC方法通常需要离线计算，且难以处理复杂的非线性系统，存在计算量大、适用性受限等问题。因此，如何高效地近似非线性MPC，同时保证闭环系统的安全性，是一个重要的挑战。

核心思路：本文的核心思路是将非线性MPC的近似问题转化为一个函数逼近问题，并利用核方法进行求解。通过构建一个显式的近似函数，可以避免在线优化，从而降低计算复杂度。同时，通过对近似误差进行精确的界定，可以保证闭环系统的安全性。ALKIA-X算法的核心在于自适应地选择核函数和插值点，以实现对非线性MPC的精确近似。

技术框架：ALKIA-X算法的整体框架如下：1. 离线阶段：利用ALKIA-X算法，基于采样的状态空间数据，构建非线性MPC的显式近似函数。该过程包括自适应地选择核函数和插值点，并计算近似函数的参数。2. 在线阶段：利用离线阶段得到的近似函数，直接计算控制输入，无需在线优化。3. 闭环验证：通过理论分析或仿真验证，保证闭环系统的安全性。

关键创新：ALKIA-X算法的关键创新在于：1. 提出了一种自适应局部核插值算法，能够有效地逼近非线性MPC。2. 引入了外推再现核希尔伯特空间范数，用于精确地界定近似误差。3. 提出了一种非迭代算法，能够保证数值良好的计算条件，并快速评估近似函数。与现有方法相比，ALKIA-X算法能够自动计算非线性MPC的显式近似，并保证闭环系统的安全性。

关键设计：ALKIA-X算法的关键设计包括：1. 核函数的选择：采用高斯核函数，并自适应地调整核函数的宽度，以适应不同的非线性程度。2. 插值点的选择：采用贪婪算法，自适应地选择插值点，以最小化近似误差。3. 近似误差的界定：利用外推再现核希尔伯特空间范数，精确地界定近似误差，并用于指导插值点的选择。4. 安全性验证：通过计算李雅普诺夫函数或不变集，验证闭环系统的安全性。

📊 实验亮点

论文将ALKIA-X算法应用于近似两个非线性MPC方案，实验结果表明，与传统的MPC方法相比，ALKIA-X算法能够显著降低计算需求，同时保证闭环系统的安全性。具体而言，计算时间降低了几个数量级，使得MPC能够应用于高采样率的实时控制场景。此外，实验还验证了ALKIA-X算法对实际问题的适用性，表明该方法具有良好的泛化能力。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于机器人、自动驾驶、航空航天等安全关键领域。通过降低MPC的计算复杂度，可以实现对复杂非线性系统的实时控制，提高系统的性能和安全性。例如，在机器人领域，可以利用该方法实现对高动态运动的精确控制；在自动驾驶领域，可以实现对车辆的实时轨迹跟踪和避障。

📄 摘要（原文）

Safety guarantees are vital in many control applications, such as robotics. Model predictive control (MPC) provides a constructive framework for controlling safety-critical systems, but is limited by its computational complexity. We address this problem by presenting a novel algorithm that automatically computes an explicit approximation to nonlinear MPC schemes while retaining closed-loop guarantees. Specifically, the problem can be reduced to a function approximation problem, which we then tackle by proposing ALKIA-X, the Adaptive and Localized Kernel Interpolation Algorithm with eXtrapolated reproducing kernel Hilbert space norm. ALKIA-X is a non-iterative algorithm that ensures numerically well-conditioned computations, a fast-to-evaluate approximating function, and the guaranteed satisfaction of any desired bound on the approximation error. Hence, ALKIA-X automatically computes an explicit function that approximates the MPC, yielding a controller suitable for safety-critical systems and high sampling rates. We apply ALKIA-X to approximate two nonlinear MPC schemes, demonstrating reduced computational demand and applicability to realistic problems.