Signatures Meet Dynamic Programming: Generalizing Bellman Equations for Trajectory Following
作者: Motoya Ohnishi, Iretiayo Akinola, Jie Xu, Ajay Mandlekar, Fabio Ramos
分类: eess.SY, cs.LG, cs.RO
发布日期: 2023-12-09 (更新: 2024-06-19)
备注: 48 pages, 21 figures
期刊: 6th Annual Conference on Learning for Dynamics and Control (2024)
💡 一句话要点
提出基于签名变换的控制框架，推广Bellman方程至轨迹空间，提升轨迹跟踪控制性能。
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 路径签名 最优控制 Bellman方程 轨迹跟踪 模型预测控制
📋 核心要点
- 传统控制方法在处理复杂轨迹和动态环境时面临挑战，尤其是在时间步长变化和模型不确定性方面。
- 论文提出签名控制框架，利用路径签名的特性将Bellman方程推广到轨迹空间，实现更高效的信息传播和鲁棒控制。
- 实验表明，该框架在点质量、曲线跟踪和机器人操作等任务中表现出色，尤其在处理未知扰动时优于传统方法。
📝 摘要（中文）
本文将路径签名与最优控制中常用的价值函数联系起来，路径签名是一种强大的路径表示方法，能够有效地捕捉路径的解析和几何特征，并具有快速连接路径的代数性质。这种联系促使我们提出了一个新颖的基于签名变换的控制框架，该框架有效地将Bellman方程推广到轨迹空间。我们分析了该框架的性质和优点，称之为签名控制。特别地，我们证明了它能够自然地处理变化/自适应的时间步长；它比价值函数更新更有效地传播高层信息；并且它对长时程动力系统模型误差具有鲁棒性。作为我们框架的一个具体案例，我们设计了一种用于路径跟踪的模型预测控制方法。该方法推广了积分控制，适用于具有未知扰动的问题。所提出的算法在模拟中进行了测试，使用了包括典型控制和机器人任务（如点质量、蚂蚁模型的曲线跟踪和机器人机械臂）的可微物理模型。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决传统控制方法在轨迹跟踪任务中，对于变时间步长、高层信息传播效率低以及对动力系统模型误差敏感的问题。现有方法，如基于价值函数的控制，在处理复杂轨迹和长时程预测时，计算复杂度高，且难以有效利用轨迹的几何信息。
核心思路：论文的核心思路是将路径签名这一强大的路径表示方法引入控制领域。路径签名能够有效地捕捉路径的解析和几何特征，并且具有良好的代数性质，例如可以通过张量积快速连接路径。通过将Bellman方程推广到路径签名空间，可以更有效地利用轨迹信息，并提高控制系统的鲁棒性。
技术框架：签名控制框架主要包含以下几个阶段：1) 状态空间到路径签名空间的映射；2) 在签名空间中定义价值函数；3) 利用推广的Bellman方程进行价值函数更新；4) 基于价值函数进行控制决策。该框架允许使用变时间步长，并且能够更有效地传播高层信息。
关键创新：该论文的关键创新在于将路径签名与最优控制理论相结合，提出了签名控制框架。与传统的基于价值函数的控制方法相比，签名控制能够更有效地利用轨迹的几何信息，并且对动力系统模型误差具有更强的鲁棒性。此外，该框架还能够自然地处理变时间步长的问题。
关键设计：在具体实现中，论文设计了一种基于模型预测控制（MPC）的路径跟踪方法，作为签名控制框架的一个具体案例。该方法推广了积分控制，适用于具有未知扰动的问题。关键的技术细节包括：选择合适的路径签名截断长度，设计合适的价值函数，以及优化MPC的控制参数。
📊 实验亮点
实验结果表明，所提出的签名控制框架在点质量、蚂蚁模型的曲线跟踪和机器人机械臂等任务中均取得了良好的效果。特别是在处理未知扰动时，该方法优于传统的积分控制方法。例如，在曲线跟踪任务中，签名控制能够更准确地跟踪目标轨迹，并且对模型误差具有更强的鲁棒性。具体的性能数据和对比基线在论文中有详细描述。
🎯 应用场景
该研究成果可广泛应用于机器人控制、自动驾驶、无人机导航等领域。尤其是在需要精确轨迹跟踪和对环境扰动具有鲁棒性的场景下，例如工业机器人精密操作、复杂地形下的无人机飞行以及自动驾驶车辆在拥堵环境中的行驶，具有重要的应用价值和潜力。未来，该方法有望进一步推广到更复杂的控制任务中。
📄 摘要（原文）
Path signatures have been proposed as a powerful representation of paths that efficiently captures the path's analytic and geometric characteristics, having useful algebraic properties including fast concatenation of paths through tensor products. Signatures have recently been widely adopted in machine learning problems for time series analysis. In this work we establish connections between value functions typically used in optimal control and intriguing properties of path signatures. These connections motivate our novel control framework with signature transforms that efficiently generalizes the Bellman equation to the space of trajectories. We analyze the properties and advantages of the framework, termed signature control. In particular, we demonstrate that (i) it can naturally deal with varying/adaptive time steps; (ii) it propagates higher-level information more efficiently than value function updates; (iii) it is robust to dynamical system misspecification over long rollouts. As a specific case of our framework, we devise a model predictive control method for path tracking. This method generalizes integral control, being suitable for problems with unknown disturbances. The proposed algorithms are tested in simulation, with differentiable physics models including typical control and robotics tasks such as point-mass, curve following for an ant model, and a robotic manipulator.