Geometric Data-Driven Dimensionality Reduction in MPC with Guarantees
作者: Roland Schurig, Andreas Himmel, Rolf Findeisen
分类: eess.SY, math.OC
发布日期: 2023-12-05 (更新: 2024-04-18)
备注: This paper is presented at ECC 2024
💡 一句话要点
提出一种几何数据驱动的降维MPC方法，保证稳定性和可行性
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 模型预测控制 降维 黎曼流形 最优控制 稳定性 可行性 数据驱动控制 几何优化
📋 核心要点
- 模型预测控制(MPC)在线求解优化问题计算量大，高维状态空间是主要挑战。
- 提出一种降维方法，在低维子空间寻找次优解，降低计算复杂度，同时保证稳定性。
- 利用黎曼流形优化设计子空间，并提出充要条件保证初始可行性，提升了实用性。
📝 摘要（中文）
本文研究了离散时间最优控制问题中的降维挑战，该问题在模型预测控制框架内被重复在线求解。研究表明，旨在识别低维子空间内次优解的降阶方法，保留了原始问题的稳定性和递归可行性。我们提出了确保初始可行性的充要条件，并将其无缝集成到子空间设计过程中。此外，我们利用黎曼流形上的优化技术来开发一个子空间，该子空间有效地表示了一组预先指定的高维数据点，同时遵守初始容许性约束。
🔬 方法详解
问题定义：本文旨在解决模型预测控制（MPC）中由于高维状态空间导致计算负担过重的问题。传统的MPC方法需要在线求解复杂的优化问题，在高维情况下，计算量会显著增加，难以满足实时性要求。现有的降维方法可能无法保证闭环系统的稳定性和可行性，或者对初始状态有严格的限制。
核心思路：核心思路是在低维子空间中寻找原优化问题的次优解。通过将高维状态投影到低维子空间，降低优化变量的维度，从而减少计算量。关键在于设计合适的子空间，使得在该子空间中找到的次优解能够保证原系统的稳定性和可行性。此外，论文还考虑了初始可行性问题，确保降维后的问题仍然是可行的。
技术框架：整体框架包括以下几个主要阶段：1) 数据收集：收集一系列高维状态数据点，这些数据点代表了系统可能的状态。2) 子空间设计：利用黎曼流形上的优化技术，设计一个低维子空间，该子空间能够有效地表示收集到的高维数据点。同时，需要满足初始可行性约束。3) 降维MPC：将原始的MPC问题投影到低维子空间中，得到一个降维的优化问题。在线求解该降维问题，得到低维控制输入。4) 控制输入映射：将低维控制输入映射回原始的高维控制输入空间，作用于实际系统。
关键创新：论文的关键创新在于：1) 提出了一种几何数据驱动的子空间设计方法，利用黎曼流形上的优化技术，能够有效地表示高维数据点，并保证子空间的质量。2) 提出了确保初始可行性的充要条件，并将其集成到子空间设计过程中，提高了算法的实用性。3) 证明了降维后的MPC仍然能够保持原系统的稳定性和递归可行性，保证了控制性能。
关键设计：子空间的设计是关键。论文利用黎曼流形上的优化，目标是找到一个低维子空间，使得高维数据点在该子空间上的投影误差最小。初始可行性约束被转化为子空间设计中的约束条件。具体的优化目标和约束条件需要根据具体的系统和控制目标进行设计。论文中可能涉及一些参数，例如子空间的维度、黎曼流形上的优化算法参数等，这些参数需要根据实验结果进行调整。
📊 实验亮点
论文提出了保证稳定性和可行性的降维MPC方法，通过黎曼流形优化设计子空间，并给出了初始可行性的充要条件。虽然摘要中没有给出具体的实验数据，但可以推断，该方法能够在保证控制性能的前提下，显著降低在线计算量，使得MPC能够应用于更高维的系统。
🎯 应用场景
该研究成果可应用于各种需要实时控制的高维系统，例如机器人控制、自动驾驶、电力系统优化等。通过降低计算复杂度，使得复杂的控制算法能够在资源受限的嵌入式平台上运行，具有重要的实际应用价值。未来可以进一步研究如何自适应地调整子空间，以适应系统动态变化。
📄 摘要（原文）
We address the challenge of dimension reduction in the discrete-time optimal control problem which is solved repeatedly online within the framework of model predictive control. Our study demonstrates that a reduced-order approach, aimed at identifying a suboptimal solution within a low-dimensional subspace, retains the stability and recursive feasibility characteristics of the original problem. We present a necessary and sufficient condition for ensuring initial feasibility, which is seamlessly integrated into the subspace design process. Additionally, we employ techniques from optimization on Riemannian manifolds to develop a subspace that efficiently represents a collection of pre-specified high-dimensional data points, all while adhering to the initial admissibility constraint.