Single-Stage Optimization of Open-loop Stable Limit Cycles with Smooth, Symbolic Derivatives

📄 arXiv: 2312.10647v3 📥 PDF

作者: Muhammad Saud Ul Hassan, Christian Hubicki

分类: cs.RO, eess.SY

发布日期: 2023-12-17 (更新: 2025-09-10)

备注: Accepted at IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA) 2025

DOI: 10.1109/ICRA55743.2025.11128720

💡 一句话要点

提出一种基于光滑符号导数的单阶段优化方法，快速生成开环稳定极限环，适用于多种动态系统。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 极限环 开环控制 直接配置法 非线性规划 稳定性约束

📋 核心要点

  1. 现有方法主要针对特定机器人模型，缺乏通用性，且计算量大，难以快速生成稳定的极限环。
  2. 将问题转化为单阶段约束优化，利用直接配置法和闭式解，提高优化效率和稳定性约束的灵活性。
  3. 在跳跃机器人模型上，该方法能在2秒内生成开环稳定步态，并有效降低能耗，验证了其有效性。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种通用的框架，用于快速生成各种动态系统的极限环，并能灵活地施加任意严格的稳定性约束。该方法将问题建模为单阶段约束优化问题，并使用直接配置法将其转化为非线性规划，其中约束、目标及其梯度的表达式均为闭式解。该方法支持多种稳定性公式，特别测试了机器人领域中两种常用的极限环稳定性公式：基于离散返回图的谱半径和基于单值矩阵的谱半径，并测试了五种不同的特征值问题约束满足公式来约束谱半径。通过在机器人摆动腿模型上比较各种公式的性能和解的质量，突出了单值矩阵的Schur分解方法，由于其较弱的假设和较强的数值收敛性，具有更广泛的适用性。作为一个案例研究，我们将该方法应用于跳跃机器人模型，在Intel Core i7-6700K上，在2秒内生成开环稳定步态，同时即使在严格的稳定性约束下也能最大限度地减少能量消耗。

🔬 方法详解

问题定义：现有的开环稳定极限环生成方法通常针对特定的机器人模型进行设计，缺乏通用性。此外，这些方法往往需要大量的计算资源，难以快速生成满足稳定性要求的步态。因此，如何快速、通用地生成开环稳定极限环是一个重要的挑战。

核心思路：本文的核心思路是将极限环的生成问题建模为一个单阶段约束优化问题。通过直接配置法将连续的动力学系统离散化，并将稳定性约束和性能指标转化为非线性规划的约束和目标函数。利用闭式解的梯度信息，可以加速优化过程，并提高解的质量。

技术框架：该方法主要包含以下几个步骤：1) 定义动态系统模型；2) 选择合适的稳定性公式（如基于离散返回图或单值矩阵的谱半径）；3) 将极限环生成问题转化为单阶段约束优化问题，包括定义状态变量、控制变量、约束条件（动力学约束、稳定性约束等）和目标函数（如能量消耗）；4) 使用直接配置法将连续的优化问题离散化为非线性规划问题；5) 利用优化求解器求解非线性规划问题，得到开环稳定极限环。

关键创新：该方法的主要创新在于：1) 提出了一个通用的框架，可以应用于各种动态系统，而不仅仅是特定的机器人模型；2) 利用闭式解的梯度信息，加速了优化过程，并提高了求解效率；3) 支持多种稳定性公式和约束满足公式，可以根据具体问题选择最合适的配置。

关键设计：在稳定性约束方面，论文测试了两种常用的极限环稳定性公式，并针对每种公式测试了五种不同的特征值问题约束满足公式。特别地，论文强调了单值矩阵的Schur分解方法，因为它具有较弱的假设和较强的数值收敛性。在目标函数方面，论文以能量消耗最小化为例，展示了该方法在优化性能指标方面的能力。

📊 实验亮点

该方法在跳跃机器人模型上实现了快速的开环稳定步态生成，在Intel Core i7-6700K处理器上仅需不到2秒。同时，即使在严格的稳定性约束下，也能有效地最小化能量消耗。实验结果表明，该方法具有较高的效率和良好的优化性能。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于腿式机器人、人形机器人等动态系统的运动规划与控制。通过快速生成稳定的开环步态，可以降低对复杂反馈控制的依赖，提高机器人的自主性和鲁棒性，并有望应用于步态康复、外骨骼等领域。

📄 摘要（原文）

Open-loop stable limit cycles are foundational to legged robotics, providing inherent self-stabilization that minimizes the need for computationally intensive feedback-based gait correction. While previous methods have primarily targeted specific robotic models, this paper introduces a general framework for rapidly generating limit cycles across various dynamical systems, with the flexibility to impose arbitrarily tight stability bounds. We formulate the problem as a single-stage constrained optimization problem and use Direct Collocation to transcribe it into a nonlinear program with closed-form expressions for constraints, objectives, and their gradients. Our method supports multiple stability formulations. In particular, we tested two popular formulations for limit cycle stability in robotics: (1) based on the spectral radius of a discrete return map, and (2) based on the spectral radius of the monodromy matrix, and tested five different constraint-satisfaction formulations of the eigenvalue problem to bound the spectral radius. We compare the performance and solution quality of the various formulations on a robotic swing-leg model, highlighting the Schur decomposition of the monodromy matrix as a method with broader applicability due to weaker assumptions and stronger numerical convergence properties. As a case study, we apply our method on a hopping robot model, generating open-loop stable gaits in under 2 seconds on an Intel Core i7-6700K, while simultaneously minimizing energy consumption even under tight stability constraints.