Meshless Latent Dynamics Models for Model Order Reduction of time-dependent Partial Differential Equations

📄 arXiv: 2610.41043v1 📥 PDF

作者: Lorenzo Tomada, Federico Pichi, Gianluigi Rozza

分类: math.NA, cs.LG

发布日期: 2026-10-29

💡 一句话要点

提出无网格潜在动力学模型以解决时间相关偏微分方程的模型降阶问题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 模型降阶 偏微分方程 无网格方法 潜在动力学模型 条件化神经场 流体动力学 稳定性分析

📋 核心要点

  1. 现有的基于自编码器的模型降阶方法依赖于固定的空间离散化，限制了其灵活性和适用性。
  2. 本文提出了一种无网格潜在动力学模型，通过条件化神经场实现空间连续函数的时间演化表示，克服了传统方法的局限。
  3. 实验结果显示，无网格LDMs在多个流体动力学方程中表现出与基于网格的模型相当或更好的预测准确性，同时参数量显著减少。

📝 摘要（中文）

潜在动力学学习已成为时间相关、参数化偏微分方程（PDEs）模型降阶（MOR）的重要方法。传统的基于自编码器的方法在训练和推理过程中与固定的空间离散化紧密相关，这促使了无网格方法的发展。本文提出了一种基于神经场（NeFs）条件化的无网格潜在动力学模型（LDMs）的统一数学框架，并通过不同的条件化机制（弱、强和纯）对其进行分类。我们建立了该类模型的通用逼近定理（UAT），并通过推导不同条件化机制的利普希茨界限分析其稳定性。实验结果表明，无网格LDMs在预测准确性上可与基于网格的模型相媲美，同时仅使用2%的可训练参数，并在空间离散化中表现出几乎恒定的误差。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决时间相关偏微分方程的模型降阶问题，现有方法因依赖固定网格而限制了其灵活性和适用性。

核心思路：提出无网格潜在动力学模型（LDMs），通过条件化神经场（NeFs）来表示时间演化，避免了固定空间离散化的限制。

技术框架：整体架构包括条件化机制的分类（弱、强、纯），并基于此构建无网格LDMs。通过建立通用逼近定理（UAT）和推导利普希茨界限，分析模型的稳定性。

关键创新：最重要的创新在于提出了一种无网格的潜在动力学模型，能够在不依赖网格的情况下实现高效的模型降阶，且保证了利普希茨界限的网格独立性。

关键设计：模型设计中，采用了不同的条件化机制以平衡表达能力与稳定性，损失函数和网络结构经过优化以确保在多种流体动力学方程中的有效性。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，无网格LDMs在Burgers方程、Navier-Stokes流动和线性对流等问题上，预测准确性与基于网格的模型相当或更优，且仅使用2%的可训练参数，展示了在不同空间离散化下几乎恒定的误差表现。

🎯 应用场景

该研究的潜在应用领域包括流体动力学、气候建模和工程模拟等领域，能够有效降低计算成本，提高模型的灵活性和适应性。未来，随着计算能力的提升，该方法有望在更复杂的动态系统中得到应用，推动科学计算和工程设计的进步。

📄 摘要（原文）

Latent dynamics learning has emerged as a prominent approach for Model Order Reduction (MOR) of time-dependent, parameterized Partial Differential Equations (PDEs). Traditional autoencoder-based approaches are intrinsically tied to fixed spatial discretizations during both training and inference, motivating the development of meshless methodologies. In this context, conditioning provides a natural mechanism for representing temporal evolution through spatially continuous functions, enabling mesh-agnostic Latent Dynamics Models (LDMs). In this work, we introduce a unified mathematical framework for mesh-agnostic LDMs based on conditioning in Neural Fields (NeFs). Leveraging a taxonomy of conditioning mechanisms (weak, strong, and pure), we formulate meshless LDMs as NeFs conditioned on a latent state. We establish a Universal Approximation Theorem (UAT) for this class of models and analyze their stability by deriving Lipschitz bounds for different conditioning mechanisms. Our analysis reveals an expressivity--stability trade-off, providing insight into why more expressive conditioning, despite its higher representational capacity, can potentially degrade performance during temporal extrapolation. Finally, we provide a comprehensive comparison of meshless and mesh-based architectures in the continuous limit of the spatial discretization, showing that meshless models guarantee grid-independent Lipschitz bounds, unlike mesh-based counterparts. Our experiments across Burgers' equation, Navier--Stokes flow past a cylinder, and linear advection show that meshless LDMs can achieve predictive accuracy comparable to or better than their mesh-based counterparts while using only 2% of the trainable parameters and exhibiting nearly constant error across spatial discretizations.