Reinforcement Learning for Symbolic Equation Solving

📄 arXiv: 2608.30162v1 📥 PDF

作者: Kevin P O Keeffe

分类: cs.LG

发布日期: 2026-08-31

💡 一句话要点

提出强化学习方法以逐步解决符号方程问题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 强化学习 符号方程 马尔可夫决策过程 动态动作空间 计算代数系统

📋 核心要点

  1. 现有方法在解决符号方程时缺乏有效的学习机制，尤其是在处理复杂的非线性方程和变量替换时。
  2. 本文提出了一种基于强化学习的代理，通过动态动作空间和树状策略来逐步解决符号方程，且不依赖于监督学习的解轨迹。
  3. 实验结果表明，代理在封闭方程上达到了0.93的性能，并在特定开放类方程上超越了传统搜索算法，显示出显著的提升。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种强化学习代理，能够逐步解决符号方程，包括非线性封闭方程（如根式、指数、三角函数）和需要变量替换的受控开放类方程（如完全平方）。我们将代数问题建模为一个具有动态动作空间的马尔可夫决策过程（MDP），并采用树状结构的策略（TreeMLP）。主要策略仅通过奖励学习，无需监督解的轨迹；变量替换则通过可与计算代数系统（CAS）调用互换的监督生成器实现。在封闭方程上，该代理在CommonCore数据集上达到了0.93的贪婪策略表现，超过了之前的最佳结果。在四个手工设计的受控开放类方程（包括二次、三次、四次和指数方程）上，达到了0.79的束搜索和0.67的贪婪策略，超越了最强的非学习搜索（A-star，0.64）。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决符号方程的逐步求解问题，现有方法在处理复杂方程时常常依赖于监督学习，缺乏灵活性和适应性。

核心思路：通过将代数问题建模为马尔可夫决策过程（MDP），并采用强化学习策略，代理能够在没有监督解轨迹的情况下，通过奖励机制自主学习求解过程。

技术框架：整体架构包括一个动态动作空间和树状结构的策略（TreeMLP），主要分为两个模块：一是通过奖励学习的主要策略，二是用于变量替换的监督生成器。

关键创新：最重要的创新在于将代数求解转化为MDP，并通过动态策略学习来实现符号方程的求解，这与传统的基于规则的求解方法有本质区别。

关键设计：在模型设计中，采用了树状结构的多层感知机（TreeMLP），并通过奖励信号进行策略优化，变量替换的生成器则通过监督学习进行训练，确保了求解过程的灵活性和准确性。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果显示，该代理在封闭方程上达到了0.93的贪婪策略表现，超越了之前的最佳结果（0.925）。在四个手工设计的开放类方程上，达到了0.79的束搜索和0.67的贪婪策略，显著优于传统的A-star算法（0.64）。

🎯 应用场景

该研究的潜在应用领域包括教育、自动化数学求解、计算机代数系统等。通过提高符号方程求解的效率和准确性，能够为学生和研究人员提供更强大的工具，促进数学学习和研究的进展。

📄 摘要（原文）

We present a reinforcement-learning agent that solves symbolic equations step by step, covering both nonlinear closed equations (radicals, exponentials, trigonometric) and a controlled class of restricted-open families requiring a change of variables (CoV) such as completing the square. We cast algebra as an MDP with a dynamic action space and a tree-structured policy (TreeMLP). The main policy learns from reward alone with no supervised solution traces; the CoV substitution comes from a supervised generator interchangeable with a CAS call. On closed equations the agent matches the prior best on CommonCore (0.93 greedy vs. ConPoLe's 0.925) under a single policy. On four hand-designed restricted-open families (quadratic, cubic, quartic, exponential) it reaches 0.79 beam / 0.67 greedy, exceeding the strongest non-learned search (A-star, 0.64). Learned CoV timing has content only on the exponential family, the one requiring a nested CoV, where a natural rule solves none of the held-out equations while the policy solves 75% from reward alone. At 10x scale a sharp seed-level bimodality emerges; a UCB learning-progress curriculum shows a non-significant positive trend toward mitigating it. We do not claim general open-equation solving: every open-equation result is confined to these four controlled families.