LieStoNet: Learning Lie Symmetries from Spatiotemporal Data for Stochastic Dynamical Systems
作者: Shida Liu, Abhishek Gupta, Sumit Sinha, L. Mahadevan
分类: cond-mat.stat-mech, cond-mat.dis-nn, cs.LG, math-ph
发布日期: 2026-08-03
备注: 25 Pages, 7 figures. Accepted to the International Conference on Machine Learning (ICML 2026)
🔗 代码/项目: GITHUB
💡 一句话要点
提出LieStoNet以从时空数据中学习随机动力系统的李对称性
🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)
关键词: 随机微分方程 李对称性 时空数据 机器学习 物理建模 对称性发现 神经网络
📋 核心要点
- 现有方法在随机微分方程的对称性发现上存在不足，相关的连续对称性往往未知，导致对称性探索几乎未被研究。
- LieStoNet提出了一种无模板的端到端框架，能够直接从时空数据中学习SDE的李对称性，避免了对称群的预设。
- 在多个标准SDE的实验中，LieStoNet成功恢复了与真实对称代数一致的生成器，展示了其在噪声动态下的可解释性。
📝 摘要（中文）
对称性在现代机器学习和物理学中至关重要：不变性和等变性提高了样本效率、鲁棒性和分布外泛化能力，同时对称性原理指导科学建模。然而，对于随机动力系统，相关的连续对称性往往未知，李对称性在随机微分方程（SDEs）中的发现几乎未被探索。我们提出了LieStoNet，一个端到端的无模板框架，能够直接从时空轨迹中发现SDE的李点对称性，而无需预先指定对称群、模板或规范坐标。基于Gaeta和Quintero（1999）提出的SDE李对称性理论，LieStoNet通过增量学习漂移和扩散的神经替代物，然后通过强制执行SDE确定方程来学习可投影生成器，同时分别正则化李括号的闭合性、遵循李代数公理（双线性、反对称、雅可比）和非冗余独立基。该替代物还定义了相关的Fokker-Planck方程，允许并行发现其李点对称性。在多个具有已知解析对称性的标准SDE中，LieStoNet恢复了与真实对称代数一致的生成器，为噪声动态提供了可解释的对称性发现。代码可在此链接获取。
🔬 方法详解
问题定义：本论文旨在解决随机微分方程（SDEs）中对称性发现的挑战，现有方法往往依赖于预先指定的对称群，限制了其适用性和灵活性。
核心思路：LieStoNet通过学习时空轨迹中的李对称性，避免了对称群和模板的预设，提供了一种更为灵活和高效的对称性发现方法。
技术框架：该框架包括多个主要模块：首先，通过增量学习漂移和扩散的神经替代物；其次，学习可投影生成器，并强制执行SDE的确定方程；最后，正则化以确保李括号的闭合性和遵循李代数公理。
关键创新：LieStoNet的最大创新在于其无模板的设计，能够直接从数据中发现对称性，而不需要事先定义对称群，这与现有方法有本质区别。
关键设计：在技术细节上，论文设计了特定的损失函数以正则化李代数的闭合性，并确保生成器遵循双线性、反对称和雅可比等公理，同时采用了非冗余独立基的设置。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
在多个标准随机微分方程的实验中，LieStoNet成功恢复了与真实对称代数一致的生成器，展示了其在噪声动态下的可解释性。与传统方法相比，LieStoNet在对称性发现的效率和准确性上均有显著提升，提供了更为灵活的解决方案。
🎯 应用场景
该研究的潜在应用领域包括物理学、工程学和生物学等多个领域，特别是在需要理解复杂动态系统的对称性时。通过提供可解释的对称性发现，LieStoNet有助于科学建模和数据分析，推动相关领域的研究进展。
📄 摘要（原文）
Symmetry is central to modern machine learning and physics: invariances and equivariances improve sample efficiency, robustness, and out-of-distribution generalization, while symmetry principles guide scientific modeling. Yet for stochastic dynamical systems the relevant continuous symmetries are rarely known, and symmetry discovery for SDEs has remained essentially unexplored. We introduce \textit{LieStoNet}, an end-to-end, \emph{template-free} framework for discovering Lie-point symmetries of SDEs directly from spatiotemporal trajectories, without prespecifying symmetry groups, templates, or canonical coordinates. Building on the seminal SDE Lie-symmetry theory of Gaeta and Quintero (1999), which formalizes Lie-point SDE symmetries and their relation to Fokker-Planck symmetries, LieStoNet learns neural surrogates for drift and diffusion from increments, then learns projectable generators by enforcing the SDE determining equations, separately regularizing for closure under Lie brackets, adherence to the Lie algebra axioms (bilinearity, antisymmetry, Jacobi), and a non-redundant independent basis. The surrogate also defines an associated Fokker-Planck equation, enabling optional discovery of its Lie-point symmetries in parallel. Across multiple canonical SDEs with known analytic symmetries, LieStoNet recovers generators consistent with the ground-truth symmetry algebra, providing interpretable symmetry discovery for noisy dynamics. Code is available at \href{https://github.com/sumit-sinha-seas/LieStoNet_Final.git}{this link}.