Robust Physics Discovery from Highly Corrupted Data: A PINN Framework Applied to the Nonlinear Schrödinger Equation

📄 arXiv: 2601.04176v1 📥 PDF

作者: Pietro de Oliveira Esteves

分类: cs.LG, physics.comp-ph

发布日期: 2026-01-07

备注: 9 pages, 4 figures, 2 tables. Code available at https://github.com/p-esteves/pinn-nlse-2026

💡 一句话要点

利用PINN框架，从高噪声数据中稳健地发现非线性薛定谔方程的物理参数

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 物理信息神经网络 PINN 非线性薛定谔方程 参数估计 逆问题 噪声数据 自动微分

📋 核心要点

  1. 传统方法在噪声环境下求解非线性薛定谔方程时，数值导数易受噪声放大影响，导致参数恢复精度下降。
  2. 论文提出基于物理信息神经网络（PINN）的框架，利用物理方程作为正则化项，抑制噪声对参数估计的影响。
  3. 实验表明，该方法在20%噪声下，仅用500个数据点即可将非线性系数β的相对误差控制在0.2%以内。

📝 摘要（中文）

本文展示了一种深度学习框架，该框架能够在严重的噪声条件下，从非线性薛定谔方程(NLSE)中恢复物理参数。通过将物理信息神经网络(PINN)与自动微分相结合，我们仅使用500个稀疏、随机采样且被20%加性高斯噪声破坏的数据点，就实现了非线性系数β的重建，相对误差小于0.2%。在这种情况下，传统的有限差分方法通常会因数值导数中的噪声放大而失效。我们验证了该方法在不同物理状态(β在0.5和2.0之间)和不同数据可用性(在100和1000个训练点之间)下的泛化能力，证明了一致的亚百分之一的精度。对多个独立运行的统计分析证实了其鲁棒性(当β等于1.0时，标准差小于0.15%)。完整的流程在大约80分钟内在适度的云GPU资源(NVIDIA Tesla T4)上执行，使得该方法易于广泛采用。我们的结果表明，基于物理的正则化可以有效地过滤掉高测量不确定性，使PINN成为时空动力学中逆问题的可行替代方案，尤其是在实验数据稀缺且嘈杂的情况下。所有代码均已公开，以方便重现。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决从高度噪声污染的数据中准确恢复非线性薛定谔方程（NLSE）中的物理参数，特别是非线性系数β的问题。传统方法，如有限差分法，在处理噪声数据时，由于数值微分过程会放大噪声，导致参数估计的精度显著下降，甚至失效。

核心思路：论文的核心思路是利用物理信息神经网络（PINN），将NLSE的物理方程作为神经网络的正则化项。通过最小化神经网络预测结果与物理方程残差之间的差异，可以有效地约束神经网络的学习过程，使其在噪声环境下也能准确地恢复物理参数。这种方法相当于利用物理知识对噪声数据进行滤波，从而提高参数估计的鲁棒性。

技术框架：整体框架包含以下几个主要部分：1) 构建一个深度神经网络，其输入为时空坐标(t, x)，输出为NLSE的解u(t, x)；2) 利用自动微分技术计算神经网络输出对输入的导数，从而得到NLSE方程中的各项；3) 构建损失函数，包括数据损失（神经网络预测值与观测数据之间的差异）和物理损失（NLSE方程的残差）；4) 通过优化算法（如Adam）最小化损失函数，从而训练神经网络，并最终得到NLSE中的物理参数。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于将PINN应用于从高噪声数据中恢复NLSE的物理参数。与传统的数值方法相比，PINN利用神经网络的函数逼近能力和自动微分技术，避免了数值微分带来的噪声放大问题。同时，物理方程作为正则化项，可以有效地约束神经网络的学习过程，提高参数估计的鲁棒性。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 神经网络的结构选择，例如多层感知机（MLP）；2) 损失函数的构建，需要平衡数据损失和物理损失之间的权重；3) 优化算法的选择，例如Adam；4) 数据采样策略，例如随机采样。此外，论文还对不同物理状态（β值）和数据可用性进行了实验，以验证方法的泛化能力。

📊 实验亮点

实验结果表明，在20%加性高斯噪声的条件下，仅使用500个稀疏采样点，该方法能够以小于0.2%的相对误差恢复非线性薛定谔方程的非线性系数β。在不同的物理状态（β在0.5和2.0之间）和数据可用性（100到1000个训练点）下，该方法均能保持亚百分之一的精度。统计分析表明，该方法具有良好的鲁棒性，当β等于1.0时，标准差小于0.15%。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于光纤通信、等离子体物理、凝聚态物理等领域，这些领域通常面临数据稀缺和噪声污染的问题。该方法能够从有限且嘈杂的实验数据中准确地提取物理参数，从而加速科学发现和工程优化。未来，该方法可以扩展到其他偏微分方程和更复杂的物理系统。

📄 摘要（原文）

We demonstrate a deep learning framework capable of recovering physical parameters from the Nonlinear Schrodinger Equation (NLSE) under severe noise conditions. By integrating Physics-Informed Neural Networks (PINNs) with automatic differentiation, we achieve reconstruction of the nonlinear coefficient beta with less than 0.2 percent relative error using only 500 sparse, randomly sampled data points corrupted by 20 percent additive Gaussian noise, a regime where traditional finite difference methods typically fail due to noise amplification in numerical derivatives. We validate the method's generalization capabilities across different physical regimes (beta between 0.5 and 2.0) and varying data availability (between 100 and 1000 training points), demonstrating consistent sub-1 percent accuracy. Statistical analysis over multiple independent runs confirms robustness (standard deviation less than 0.15 percent for beta equals 1.0). The complete pipeline executes in approximately 80 minutes on modest cloud GPU resources (NVIDIA Tesla T4), making the approach accessible for widespread adoption. Our results indicate that physics-based regularization acts as an effective filter against high measurement uncertainty, positioning PINNs as a viable alternative to traditional optimization methods for inverse problems in spatiotemporal dynamics where experimental data is scarce and noisy. All code is made publicly available to facilitate reproducibility.