Weighted Stochastic Differential Equation to Implement Wasserstein-Fisher-Rao Gradient Flow
作者: Herlock Rahimi
分类: cs.LG, cs.AI, stat.ML
发布日期: 2025-12-19
备注: 26 pages, 1 figure
💡 一句话要点
提出基于加权随机微分方程的Wasserstein-Fisher-Rao梯度流方法，提升生成模型采样效率。
🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)
关键词: 扩散模型 生成模型 随机微分方程 Wasserstein距离 信息几何
📋 核心要点
- 传统扩散模型在处理非凸或多峰目标分布时，采样效率显著降低，难以有效探索复杂的概率空间。
- 本文提出通过引入质量重加权机制，并结合Wasserstein-Fisher-Rao几何，改进扩散模型的采样过程。
- 通过加权随机微分方程和Feynman-Kac表示，实现了该重加权机制，为WFR采样动力学提供了理论基础。
📝 摘要（中文）
本文提出了一种基于加权随机微分方程的采样方法，旨在改进基于score的扩散模型在非凸或多峰目标分布下的采样效率。现有的扩散模型通常采用过阻尼或欠阻尼的Ornstein-Uhlenbeck型随机微分方程，其采样过程依赖于确定性漂移和布朗扩散的结合。然而，这些方法在处理非凸或多峰分布时，混合速率会显著下降。为了解决这个问题，本文利用信息几何工具，引入了可控的质量重加权机制，并将其与扩散采样器结合。这种方法自然地引出了Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) 几何，将样本空间中的传输与概率测度空间上的垂直（反应）动力学相结合。通过Feynman-Kac表示，本文展示了如何通过加权随机微分方程实现这种重加权机制。本研究对基于WFR的采样动力学进行了初步但严谨的调查，旨在阐明其几何和算子理论结构，为未来的理论和算法发展奠定基础。
🔬 方法详解
问题定义：现有的基于score的扩散模型在处理具有非凸或多峰特性的目标分布时，采样效率会显著下降。这是因为传统的Ornstein-Uhlenbeck型随机微分方程的混合速率在这种情况下会指数级恶化。因此，如何提高扩散模型在复杂目标分布下的采样效率是一个关键问题。
核心思路：本文的核心思路是利用信息几何中的Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) 几何，通过引入可控的质量重加权机制来改进扩散模型的采样过程。WFR几何将样本空间中的传输与概率测度空间上的垂直动力学相结合，从而允许模型在采样过程中动态地调整概率分布，更好地探索目标分布的复杂结构。
技术框架：本文的技术框架主要包括以下几个部分：首先，将重加权机制形式化为显式的校正项。然后，利用Feynman-Kac表示，将这些校正项转化为加权随机微分方程。最后，通过求解该加权随机微分方程，实现基于WFR几何的采样过程。整体流程可以看作是在传统扩散模型的基础上，增加了一个基于WFR几何的重加权模块，用于动态调整采样轨迹。
关键创新：本文最重要的技术创新在于将WFR几何引入到扩散模型的采样过程中，并提出了一种基于加权随机微分方程的实现方法。与传统的扩散模型相比，该方法能够更好地处理非凸或多峰的目标分布，提高采样效率。本质区别在于，传统方法仅依赖于确定性漂移和布朗扩散，而本文的方法则引入了动态的质量重加权机制，允许模型在采样过程中自适应地调整概率分布。
关键设计：本文的关键设计在于如何选择合适的校正项来实现WFR几何中的质量重加权。具体而言，需要设计一个合适的加权函数，该函数能够反映目标分布的局部结构，并引导采样过程向高概率区域移动。此外，还需要选择合适的数值方法来求解加权随机微分方程，以保证采样过程的稳定性和准确性。具体的参数设置和损失函数的设计细节在论文中未明确给出，属于未来研究的方向。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
由于是初步的理论研究，论文主要贡献在于提出了基于加权随机微分方程实现WFR梯度流的框架，并对WFR采样动力学进行了理论分析。具体的实验结果和性能数据未在摘要中提及，需要查阅论文全文以获取更多信息。未来的工作将集中在算法实现和实验验证上，以评估该方法在实际应用中的性能提升。
🎯 应用场景
该研究成果可应用于各种生成建模任务，例如图像生成、音频合成、分子设计等。通过提高采样效率，可以更快地生成高质量的样本，从而加速相关领域的研究和应用。此外，该方法还可以用于优化算法和强化学习等领域，通过改进采样策略来提高算法的性能。
📄 摘要（原文）
Score-based diffusion models currently constitute the state of the art in continuous generative modeling. These methods are typically formulated via overdamped or underdamped Ornstein--Uhlenbeck-type stochastic differential equations, in which sampling is driven by a combination of deterministic drift and Brownian diffusion, resulting in continuous particle trajectories in the ambient space. While such dynamics enjoy exponential convergence guarantees for strongly log-concave target distributions, it is well known that their mixing rates deteriorate exponentially in the presence of nonconvex or multimodal landscapes, such as double-well potentials. Since many practical generative modeling tasks involve highly non-log-concave target distributions, considerable recent effort has been devoted to developing sampling schemes that improve exploration beyond classical diffusion dynamics. A promising line of work leverages tools from information geometry to augment diffusion-based samplers with controlled mass reweighting mechanisms. This perspective leads naturally to Wasserstein--Fisher--Rao (WFR) geometries, which couple transport in the sample space with vertical (reaction) dynamics on the space of probability measures. In this work, we formulate such reweighting mechanisms through the introduction of explicit correction terms and show how they can be implemented via weighted stochastic differential equations using the Feynman--Kac representation. Our study provides a preliminary but rigorous investigation of WFR-based sampling dynamics, and aims to clarify their geometric and operator-theoretic structure as a foundation for future theoretical and algorithmic developments.