A Theoretical Analysis of State Similarity Between Markov Decision Processes

📄 arXiv: 2512.17265v1 📥 PDF

作者: Zhenyu Tao, Wei Xu, Xiaohu You

分类: cs.LG

发布日期: 2025-12-19

备注: Submitted to an IEEE Transactions. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2509.18714

💡 一句话要点

提出广义双模拟度量GBSM，用于评估马尔可夫决策过程间的状态相似性。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 强化学习 马尔可夫决策过程 双模拟度量 状态相似性 策略迁移 状态聚合 广义双模拟度量

📋 核心要点

  1. 现有双模拟度量(BSM)在跨多个MDP衡量状态相似性方面存在不足，缺乏完善的数学性质，限制了理论分析。
  2. 论文提出广义双模拟度量(GBSM)，通过严格证明其对称性、三角不等式等性质，实现对MDP间状态相似性的有效度量。
  3. 实验结果验证了GBSM的有效性，并在策略迁移、状态聚合和采样估计等方面获得了比现有方法更优的性能。

📝 摘要（中文）

双模拟度量(BSM)是分析马尔可夫决策过程(MDP)中状态相似性的强大工具，它揭示了BSM中距离更近的状态具有更相似的最优价值函数。虽然BSM已成功应用于强化学习(RL)中的状态表示学习和策略探索等任务，但将其应用于多个MDP之间的状态相似性仍然具有挑战性。先前的工作试图将BSM扩展到MDP对，但由于缺乏完善的数学性质，限制了MDP之间进一步的理论分析。在这项工作中，我们正式建立了广义双模拟度量(GBSM)，用于衡量任意MDP对之间的状态相似性，并通过三个基本度量属性（即GBSM对称性、MDP间三角不等式和相同空间上的距离界限）对其进行了严格证明。利用这些属性，我们从理论上分析了跨MDP的策略迁移、状态聚合和基于采样的估计，获得了比现有标准BSM推导的更严格的显式界限。此外，GBSM为估计提供了闭式样本复杂度，改进了基于BSM的现有渐近结果。数值结果验证了我们的理论发现，并证明了GBSM在多MDP场景中的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决如何有效衡量不同马尔可夫决策过程(MDP)之间的状态相似性问题。现有方法，特别是基于双模拟度量(BSM)的扩展，缺乏严格的数学性质，导致无法进行有效的理论分析，限制了其在跨MDP的策略迁移、状态聚合等方面的应用。现有方法通常只能提供渐近结果，缺乏闭式解和严格的性能界限。

核心思路：论文的核心思路是提出一种新的度量方式，即广义双模拟度量(GBSM)，该度量不仅能够衡量单个MDP内的状态相似性，还能衡量不同MDP之间的状态相似性。GBSM的设计目标是满足度量的基本性质，如对称性、三角不等式等，从而为后续的理论分析提供坚实的基础。通过GBSM，可以更好地理解不同MDP之间的关系，并指导策略迁移等任务。

技术框架：论文的技术框架主要包括以下几个部分：1) 形式化定义广义双模拟度量(GBSM)；2) 严格证明GBSM满足度量的基本性质，包括对称性、MDP间三角不等式和相同空间上的距离界限；3) 利用GBSM的性质，从理论上分析跨MDP的策略迁移、状态聚合和基于采样的估计；4) 推导出基于GBSM的闭式样本复杂度，并与现有基于BSM的渐近结果进行比较；5) 通过数值实验验证GBSM的有效性和理论分析的正确性。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于提出了广义双模拟度量(GBSM)，并严格证明了其满足度量的基本性质。与现有方法相比，GBSM能够更准确地衡量不同MDP之间的状态相似性，并为跨MDP的策略迁移等任务提供更有效的理论指导。此外，GBSM还提供了闭式样本复杂度，改进了现有基于BSM的渐近结果。

关键设计：GBSM的具体定义涉及到对不同MDP的状态空间、动作空间和转移概率的比较。关键在于如何定义不同MDP之间的“相似”转移，以及如何将这种相似性转化为一个可度量的距离。论文中可能涉及到对状态空间和动作空间进行嵌入或映射，以便进行比较。此外，GBSM的计算可能涉及到迭代算法，需要仔细设计迭代的停止条件和收敛性保证。损失函数的设计可能涉及到最小化不同MDP之间的状态价值函数的差异，同时考虑GBSM的度量性质。

📊 实验亮点

论文通过数值实验验证了GBSM的有效性，并证明了其在策略迁移、状态聚合和采样估计等方面优于现有基于BSM的方法。具体而言，GBSM在策略迁移任务中能够实现更高的策略性能，在状态聚合任务中能够获得更紧凑的状态表示，在采样估计任务中能够提供更准确的价值函数估计。实验结果表明，GBSM能够有效地衡量不同MDP之间的状态相似性，并为跨MDP的强化学习任务提供更有效的理论指导。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于多智能体强化学习、迁移学习、元学习等领域。例如，在机器人控制中，可以将一个机器人的策略迁移到另一个机器人上，从而减少训练时间和成本。在游戏AI中，可以将一个游戏的AI策略迁移到另一个类似的游戏中，提高AI的通用性和适应性。此外，该研究还可以用于状态抽象和状态聚合，从而降低强化学习的计算复杂度。

📄 摘要（原文）

The bisimulation metric (BSM) is a powerful tool for analyzing state similarities within a Markov decision process (MDP), revealing that states closer in BSM have more similar optimal value functions. While BSM has been successfully utilized in reinforcement learning (RL) for tasks like state representation learning and policy exploration, its application to state similarity between multiple MDPs remains challenging. Prior work has attempted to extend BSM to pairs of MDPs, but a lack of well-established mathematical properties has limited further theoretical analysis between MDPs. In this work, we formally establish a generalized bisimulation metric (GBSM) for measuring state similarity between arbitrary pairs of MDPs, which is rigorously proven with three fundamental metric properties, i.e., GBSM symmetry, inter-MDP triangle inequality, and a distance bound on identical spaces. Leveraging these properties, we theoretically analyze policy transfer, state aggregation, and sampling-based estimation across MDPs, obtaining explicit bounds that are strictly tighter than existing ones derived from the standard BSM. Additionally, GBSM provides a closed-form sample complexity for estimation, improving upon existing asymptotic results based on BSM. Numerical results validate our theoretical findings and demonstrate the effectiveness of GBSM in multi-MDP scenarios.