Extensions of Robbins-Siegmund Theorem with Applications in Reinforcement Learning

📄 arXiv: 2509.26442v1 📥 PDF

作者: Xinyu Liu, Zixuan Xie, Shangtong Zhang

分类: cs.LG, math.OC

发布日期: 2025-09-30

💡 一句话要点

扩展Robbins-Siegmund定理，解决强化学习中非可和零阶项的收敛性分析难题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: Robbins-Siegmund定理 强化学习 随机逼近 收敛性分析 Q-learning 函数逼近 随机过程

📋 核心要点

  1. Robbins-Siegmund定理在强化学习算法收敛性分析中至关重要，但其对零阶项可和性的要求限制了其应用。
  2. 论文通过对随机过程增量引入新假设，扩展了Robbins-Siegmund定理，使其适用于零阶项平方可和的情况。
  3. 新定理成功应用于Q-learning，首次获得了线性函数逼近下Q-learning的收敛速度、集中界和Lp收敛率。

📝 摘要（中文）

Robbins-Siegmund定理是分析随机逼近和强化学习（RL）中广泛使用的随机迭代算法收敛性的基础。然而，其原始形式存在一个显著的局限性，即它要求零阶项是可和的。在许多重要的RL应用中，这个可和条件无法满足。为了解决这个问题，本文扩展了Robbins-Siegmund定理，使其适用于零阶项非可和但平方可和的几乎超鞅。特别地，我们对随机过程的增量引入了一个新的、温和的假设。这个假设与平方可和条件一起，实现了几乎必然收敛到一个有界集合。此外，我们进一步提供了几乎必然收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。然后，我们将新的结果应用于随机逼近和RL。值得注意的是，我们获得了线性函数逼近的Q-learning的第一个几乎必然收敛速度、第一个高概率集中界和第一个$L^p$收敛速度。

🔬 方法详解

问题定义：现有的Robbins-Siegmund定理要求零阶项必须是可和的，这在许多强化学习应用中并不成立。例如，当使用函数逼近时，误差可能不会快速衰减到零，导致零阶项不可和。因此，如何分析零阶项非可和情况下的算法收敛性是一个关键问题。

核心思路：论文的核心思路是通过放宽对零阶项的要求，允许其仅为平方可和，并引入关于随机过程增量的新的温和假设，从而扩展Robbins-Siegmund定理。这种方法旨在覆盖更广泛的强化学习算法，同时保持收敛性分析的严谨性。

技术框架：论文首先提出了扩展的Robbins-Siegmund定理，然后将其应用于随机逼近和强化学习算法。具体来说，首先证明了在新的假设下，随机过程几乎必然收敛到一个有界集合。然后，推导出了收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。最后，将这些结果应用于线性函数逼近的Q-learning算法。

关键创新：最重要的技术创新点在于对随机过程增量引入了一个新的、温和的假设，并结合平方可和条件，实现了对几乎超鞅的收敛性分析。与原始Robbins-Siegmund定理相比，该方法不再要求零阶项是可和的，从而扩大了适用范围。

关键设计：论文的关键设计包括：(1) 提出了新的增量假设，该假设需要根据具体的应用场景进行验证。(2) 基于扩展的Robbins-Siegmund定理，推导出了收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度，这些结果可以用于评估算法的性能。(3) 将扩展的定理应用于线性函数逼近的Q-learning算法，并获得了相应的收敛性结果。

📊 实验亮点

论文最重要的实验亮点是首次为线性函数逼近的Q-learning算法提供了几乎必然收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。这些结果填补了该领域的一个空白，并为Q-learning算法的理论分析提供了重要的依据。虽然论文没有提供具体的数值实验结果，但其理论贡献为未来的实验研究奠定了基础。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于强化学习和随机逼近领域，尤其是在函数逼近等复杂场景下，为算法的收敛性分析提供了更强的理论工具。这有助于研究者设计和分析更有效的强化学习算法，并为算法的实际应用提供理论保障，例如在机器人控制、资源管理和推荐系统等领域。

📄 摘要（原文）

The Robbins-Siegmund theorem establishes the convergence of stochastic processes that are almost supermartingales and is foundational for analyzing a wide range of stochastic iterative algorithms in stochastic approximation and reinforcement learning (RL). However, its original form has a significant limitation as it requires the zero-order term to be summable. In many important RL applications, this summable condition, however, cannot be met. This limitation motivates us to extend the Robbins-Siegmund theorem for almost supermartingales where the zero-order term is not summable but only square summable. Particularly, we introduce a novel and mild assumption on the increments of the stochastic processes. This together with the square summable condition enables an almost sure convergence to a bounded set. Additionally, we further provide almost sure convergence rates, high probability concentration bounds, and $L^p$ convergence rates. We then apply the new results in stochastic approximation and RL. Notably, we obtain the first almost sure convergence rate, the first high probability concentration bound, and the first $L^p$ convergence rate for $Q$-learning with linear function approximation.