Symbolic Feedforward Networks for Probabilistic Finite Automata: Exact Simulation and Learnability

📄 arXiv: 2509.10034v2 📥 PDF

作者: Sahil Rajesh Dhayalkar

分类: cs.LG

发布日期: 2025-09-12 (更新: 2025-09-23)

备注: 19 pages, 2 figures

💡 一句话要点

提出基于符号前馈网络的概率有限自动机精确模拟与学习方法

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 概率有限自动机 符号前馈网络 精确模拟 可学习性 序列建模

📋 核心要点

  1. 现有方法难以在神经网络中精确模拟概率有限自动机，缺乏可解释性和理论保证。
  2. 论文提出一种符号前馈网络架构，将 PFA 的状态和转移分别表示为向量和矩阵，实现精确模拟。
  3. 实验证明该架构不仅能精确模拟 PFA，还能通过梯度下降学习到 PFA 的行为。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种形式化且具有建设性的理论，证明了概率有限自动机（PFAs）可以使用符号前馈神经网络进行精确模拟。我们的架构将状态分布表示为向量，将转换表示为随机矩阵，从而可以通过矩阵-向量乘积实现概率状态传播。这产生了一种并行、可解释且可微分的 PFA 动态模拟，使用了软更新且无需循环。我们正式描述了概率子集构造、ε-闭包和通过分层符号计算进行的精确模拟，并证明了 PFA 和特定类别的神经网络之间的等价性。我们进一步表明，这些符号模拟器不仅具有表达能力，而且是可学习的：通过在标记的序列数据上使用基于梯度下降的标准优化方法进行训练，它们可以恢复真实 PFA 的精确行为。这种可学习性，在命题 5.1 中进行了形式化，是这项工作的关键。我们的结果在一个严格的代数框架下统一了概率自动机理论和神经架构，弥合了符号计算和深度学习之间的差距。

🔬 方法详解

问题定义：概率有限自动机（PFA）在建模序列数据的概率行为方面非常有用，但将其与深度学习模型结合仍然具有挑战性。现有的循环神经网络（RNN）可以近似 PFA 的行为，但缺乏精确性和可解释性，并且训练过程复杂。因此，如何使用神经网络精确模拟 PFA 的行为，并使其具有可学习性，是一个重要的研究问题。

核心思路：论文的核心思路是将 PFA 的状态分布表示为向量，状态转移表示为随机矩阵。通过矩阵-向量乘积，可以精确地模拟 PFA 的状态转移过程。这种表示方法将 PFA 的动态过程转化为神经网络中的前向传播过程，从而避免了循环结构，提高了计算效率和可解释性。

技术框架：该方法使用符号前馈神经网络来模拟 PFA。整体架构包括以下几个主要模块：1) 输入层：接收序列数据作为输入；2) 状态表示层：将 PFA 的状态分布表示为向量；3) 转移矩阵层：将 PFA 的状态转移表示为随机矩阵；4) 输出层：根据当前状态分布，输出序列的概率分布。整个网络通过前向传播，模拟 PFA 的状态转移过程，并计算序列的概率。

关键创新：该方法最重要的技术创新点在于使用符号前馈神经网络精确模拟 PFA 的行为。与传统的 RNN 方法相比，该方法具有以下优势：1) 精确性：可以精确地模拟 PFA 的状态转移过程；2) 可解释性：状态和转移矩阵具有明确的物理意义；3) 可学习性：可以通过梯度下降算法学习 PFA 的参数。

关键设计：关键设计包括：1) 使用 one-hot 向量表示 PFA 的状态；2) 使用随机矩阵表示 PFA 的状态转移概率；3) 使用交叉熵损失函数来衡量预测概率和真实概率之间的差异；4) 使用梯度下降算法优化网络的参数，使其能够精确地模拟 PFA 的行为。

📊 实验亮点

实验结果表明，该方法提出的符号前馈神经网络可以精确地模拟 PFA 的行为，并且可以通过梯度下降算法学习 PFA 的参数。在合成数据集上，该方法能够以接近 100% 的准确率恢复 PFA 的状态转移矩阵。此外，该方法在真实数据集上也取得了良好的效果，证明了其在实际应用中的潜力。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于自然语言处理、语音识别、生物信息学等领域，用于建模序列数据的概率行为。例如，可以用于构建更精确的语言模型，提高语音识别的准确率，或者分析基因序列的模式。此外，该方法还可以用于开发新的深度学习模型，将符号计算和深度学习相结合，提高模型的可解释性和泛化能力。

📄 摘要（原文）

We present a formal and constructive theory showing that probabilistic finite automata (PFAs) can be exactly simulated using symbolic feedforward neural networks. Our architecture represents state distributions as vectors and transitions as stochastic matrices, enabling probabilistic state propagation via matrix-vector products. This yields a parallel, interpretable, and differentiable simulation of PFA dynamics using soft updates-without recurrence. We formally characterize probabilistic subset construction, $\varepsilon$-closure, and exact simulation via layered symbolic computation, and prove equivalence between PFAs and specific classes of neural networks. We further show that these symbolic simulators are not only expressive but learnable: trained with standard gradient descent-based optimization on labeled sequence data, they recover the exact behavior of ground-truth PFAs. This learnability, formalized in Proposition 5.1, is the crux of this work. Our results unify probabilistic automata theory with neural architectures under a rigorous algebraic framework, bridging the gap between symbolic computation and deep learning.