Towards Quantifying the Hessian Structure of Neural Networks

📄 arXiv: 2505.02809v2 📥 PDF

作者: Zhaorui Dong, Yushun Zhang, Jianfeng Yao, Ruoyu Sun

分类: cs.LG, math.OC, stat.ML

发布日期: 2025-05-05 (更新: 2025-09-21)

💡 一句话要点

揭示神经网络Hessian矩阵的近块对角结构

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: Hessian矩阵 神经网络 随机矩阵理论 块对角结构 大型语言模型 优化算法 理论分析

📋 核心要点

  1. 现有研究虽然观察到神经网络Hessian矩阵的近块对角结构，但其理论基础尚不明确，缺乏深入分析。
  2. 论文通过理论分析揭示了Hessian矩阵结构的来源，提出了静态和动态力量的概念，深入探讨了其在随机初始化下的表现。
  3. 研究结果表明，类别数C是影响Hessian矩阵近块对角结构的主要因素，为理解大型语言模型的Hessian结构提供了新思路。

📝 摘要（中文）

本研究揭示了神经网络（NNs）Hessian矩阵的近块对角结构来源于两种力量的混合：一种是源于架构设计的“静态力量”，另一种是训练过程中产生的“动态力量”。我们对随机初始化下的“静态力量”进行了严格的理论分析，研究了线性模型和具有一个隐藏层的分类网络。通过随机矩阵理论，我们比较了Hessian矩阵对角块和非对角块的极限分布，发现当类别数C增大时，块对角结构逐渐显现。这些发现为大型语言模型（LLMs）的Hessian结构提供了新的视角，尤其是在C超过10^4的情况下。

🔬 方法详解

问题定义：本研究旨在解决神经网络Hessian矩阵近块对角结构的理论基础不明确的问题，现有方法缺乏对其来源的深入探讨。

核心思路：论文提出了“静态力量”和“动态力量”的概念，分析了这两种力量如何共同影响Hessian矩阵的结构，尤其是在随机初始化条件下的表现。

技术框架：研究主要分为两个部分：首先，分析线性模型和单隐藏层网络的Hessian矩阵；其次，利用随机矩阵理论比较对角块和非对角块的极限分布，揭示类别数C对结构的影响。

关键创新：最重要的创新在于将Hessian矩阵的结构归因于静态和动态力量的结合，特别是强调了类别数C在形成近块对角结构中的关键作用，这与现有研究的单一视角形成鲜明对比。

关键设计：在实验中，采用了随机初始化的线性模型和单隐藏层网络，重点关注Hessian矩阵的对角块和非对角块的极限分布，确保了理论分析的严谨性。具体参数设置和网络结构设计未在摘要中详细说明，需参考原文获取更多信息。

📊 实验亮点

研究结果表明，当类别数C增大时，Hessian矩阵的近块对角结构愈加明显。这一发现为理解大型语言模型的Hessian结构提供了新的视角，尤其是在C超过10^4的情况下，可能对模型的训练和优化策略产生深远影响。

🎯 应用场景

该研究的发现对理解神经网络的训练动态和优化过程具有重要意义，尤其是在大型语言模型的设计与应用中。通过深入分析Hessian矩阵的结构，可以为模型的优化和性能提升提供新的思路，推动更高效的算法开发。

📄 摘要（原文）

Empirical studies reported that the Hessian matrix of neural networks (NNs) exhibits a near-block-diagonal structure, yet its theoretical foundation remains unclear. In this work, we reveal that the reported Hessian structure comes from a mixture of two forces: a ``static force'' rooted in the architecture design, and a ''dynamic force'' arisen from training. We then provide a rigorous theoretical analysis of ''static force'' at random initialization. We study linear models and 1-hidden-layer networks for classification tasks with $C$ classes. By leveraging random matrix theory, we compare the limit distributions of the diagonal and off-diagonal Hessian blocks and find that the block-diagonal structure arises as $C$ becomes large. Our findings reveal that $C$ is one primary driver of the near-block-diagonal structure. These results may shed new light on the Hessian structure of large language models (LLMs), which typically operate with a large $C$ exceeding $10^4$.