Anisotropic Green Coordinates
作者: Dong Xiao, Renjie Chen, Bailin Deng
分类: cs.GR
发布日期: 2025-12-23
💡 一句话要点
提出各向异性绿色坐标以解决空间变形问题
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 各向异性变形 绿色坐标 空间变形 计算机图形学 虚拟现实 动画制作 形状操控
📋 核心要点
- 现有的空间变形方法在处理各向异性特征时存在局限，难以实现灵活的形状操控。
- 论文提出了基于各向异性拉普拉斯方程的各向异性绿色坐标，能够有效地进行笼体和变分变形。
- 实验结果显示，该方法在二维和三维变形中提供了多样化的选项，显著提升了形状变形的灵活性。
📝 摘要（中文）
在自然和工程系统中，各向异性是一种普遍特征。本研究集中于空间变形，提出各向异性绿色坐标，提供了在二维和三维中基于笼体和变分变形的多样化效果。这些坐标源自各向异性拉普拉斯方程，结合了对称正定矩阵，以表征各向异性行为。通过建立边界积分公式并进行离散化，定义了在有向单纯形笼体的顶点和法线上的各向异性绿色坐标。该变形方法满足线性重现和平移不变性，并提供了二维和三维场景的封闭形式表达。实验结果表明，各向异性绿色坐标为艺术家提供了更大的灵活性，并为空间变形引入了新的视角。
🔬 方法详解
问题定义：本研究旨在解决现有空间变形方法在处理各向异性特征时的不足，尤其是在灵活性和效果多样性方面的挑战。
核心思路：提出的各向异性绿色坐标基于各向异性拉普拉斯方程，通过引入对称正定矩阵来表征各向异性行为，从而实现更灵活的形状变形。
技术框架：整体方法包括边界积分公式的建立、离散化处理以及在有向单纯形笼体的顶点和法线上的坐标定义，确保变形满足线性重现和平移不变性。
关键创新：最重要的创新在于引入各向异性绿色坐标，使得变形方法能够在二维和三维场景中灵活应用，区别于传统方法的局限性。
关键设计：在技术细节上，采用了局部-全局优化框架来计算变形坐标的梯度和海森矩阵，确保变形过程尽可能保持刚性，同时实现灵活的形状操控。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
实验结果表明，采用各向异性绿色坐标的变形方法在二维和三维场景中均表现出显著的灵活性和多样性，相较于传统方法，变形效果的自然度和艺术性得到了提升，具体性能数据尚未披露。
🎯 应用场景
该研究的潜在应用领域包括计算机图形学、动画制作、虚拟现实等，能够为艺术家和设计师提供更灵活的工具来实现复杂的形状变形。未来，该方法可能在游戏开发和影视特效制作中发挥重要作用，提升视觉效果和用户体验。
📄 摘要（原文）
We live in a world filled with anisotropy, a ubiquitous characteristic of both natural and engineered systems. In this study, we concentrate on space deformation and introduce anisotropic Green coordinates, which provide versatile effects for cage-based and variational deformations in both two and three dimensions. The anisotropic Green coordinates are derived from the anisotropic Laplacian equation $\nabla\cdot(\mathbf{A}\nabla u)=0$, where $\mathbf{A}$ is a symmetric positive definite matrix. This equation belongs to the class of constant-coefficient second-order elliptic equations, exhibiting properties analogous to the Laplacian equation but incorporating the matrix $\mathbf{A}$ to characterize anisotropic behavior. Based on this equation, we establish the boundary integral formulation, which is subsequently discretized to derive anisotropic Green coordinates defined on the vertices and normals of oriented simplicial cages. The deformation satisfies basic properties such as linear reproduction and translation invariance, and has closed-form expressions for both 2D and 3D scenarios. We also offer intuitive geometric interpretations of this method. Furthermore, our approach computes the gradient and Hessian of the deformation coordinates and employs the local-global optimization framework to facilitate variational shape deformation, enabling flexible shape manipulation while achieving as-rigid-as-possible shape deformation. Experimental results demonstrate that anisotropic Green coordinates offer versatile and diverse deformation options, providing artists with enhanced flexibility and introducing a novel perspective on spatial deformation.